A Liouville theorem for solutions of the Monge–Ampère equation with periodic data Un théorème de Liouville pour les solutions de l’équation de Monge–Ampère avec données periodiques

A classical result of Jörgens, Calabi and Pogorelov states that any strictly convex smooth function u with det(D2u)= constant in Rn must be a quadratic polynomial. We establish the following extension: any strictly convex smooth function u with det(D2u) being 1-periodic in each variable must be the sum of a quadratic polynomial and a function which is 1-periodic in each variable. Given any positive periodic right-hand side, the existence and uniqueness of such solutions are well known.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Selon un théorème classique de Jörgens, Calabi et Pogorelov, toute solution régulière et strictement convexe de l’équation det(D2u)= constante dans Rn doit être égale à un polynôme quadratique. On démontre le résultat suivant : si u une fonction régulière et strictement convexe telle que det(D2u) est 1-périodique par rapport à chaque variable, alors u est la somme d’un polynôme quadratique et d’une fonction 1-périodique par rapport à chaque variable. Étant donnée une fonction périodique et positive f , l’existence et l’unicité des solutions de det(D2u)= f est un problème bien connu.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. * Corresponding author. E-mail address: [email protected] (Y.Y. Li). 1 Partially supported by National Science Foundation Grant DMS-0140388 and G-37-X71-G4. 2 Partially supported by National Science Foundation Grant DMS-0100819 and a Rutgers University Research Council Grant. 0294-1449/$ – see front matter  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.anihpc.2003.01.005 98 L. Caffarelli, Y.Y. Li / Ann. I. H. Poincaré – AN 21 (2004) 97–120